区间DP

枚举区间

在线性DP的基础上，区间DP能找到区间的最值。简单的区间DP复杂度为O(n²)，如果把$f(i, j)$定义为[i, j]区间的答案，那么它取决于与它临近解的值：

$f[i, j] = g (f[i+1, j], f[i, j-1], f[i+1, j-1])$

比如最长回文子串的核心代码：

for l in range(1, N+1):
    for i in range(N-l+1):
        j = i+l-1
        if l<=2: f[i][j] = (s[i]==s[j])
        else: f[i][j] = (f[i+1][j-1] and s[i] == s[j])
        if f[i][j] and l>len(res): res = s[i:j+1]
return res

枚举区间和中点

更复杂的情况，如果问题的大小随着不同阶段变化而变化，那很可能用区间DP来枚举这个动态过程。这个时候时间复杂度为O(n³)，那么状态转移方程一般可以写成：

$f(i, j) = \max_k [f(j, k) + f(k+1, j) + \text{cost}]$

注意上述两种情况中，都是只有区间的长度在不断变大。所以我们一开始都先枚举区间长度 $l$ 来符合DP的自下而上的要求。

参考模版

for l in range(N):
    for i in range(N-l):        # 枚举长度为l的[i, j)区间
        j = i+l
        for k in range(i+1, j): # 枚举中点i+1, i+2, ..., j-1
            # do something.

用记忆化搜索会更好写些：

@cache
def dfs(i, j):
    if i==j: # do something
    res = 0
    for k in range(i+1, j):
        res = max(res, dfs(i, k)+dfs(k, j)+cost)
    return res

例题

枚举区间：

• 预测赢家

枚举中点：

• 切棍子的最小成本

• 戳气球

• 奇怪的打印机

• 移除盒子：$f[i, j, k]$ = 移除区间 $n_i, n_{i+1}..., n_j$ 盒子加上该区间右边有 $p$ 个与 $n_j$ 相同的盒子的最大积分

预测赢家

给定一个表示分数的非负整数数组。 玩家 1 从数组任意一端拿取一个分数，
随后玩家 2 继续从剩余数组任意一端拿取分数，然后玩家 1 拿，…… 。
每次一个玩家只能拿取一个分数，分数被拿取之后不再可取。
直到没有剩余分数可取时游戏结束。最终获得分数总和最多的玩家获胜。

给定一个表示分数的数组，预测玩家1是否会成为赢家。
你可以假设每个玩家的玩法都会使他的分数最大化。

输入：[1, 5, 2]
输出：False
解释：一开始，玩家1可以从1和2中进行选择。
如果他选择 2（或者 1 ），那么玩家 2 可以从 1（或者 2 ）和 5 中进行选择。
如果玩家 2 选择了 5 ，那么玩家 1 则只剩下 1（或者 2 ）可选。
所以，玩家 1 的最终分数为 1 + 2 = 3，而玩家 2 为 5 。
因此，玩家 1 永远不会成为赢家，返回 False 。

N = len(nums)
f = [[0]*(N+1) for _ in range(N+1)]
for l in range(N):
    for i in range(N-l):
        j = i+l
        f[i][j] = max(nums[i]-f[i+1][j],
                      nums[j]-f[i][j-1])
return f[0][N-1] >= 0

# Memoization
@cache
def maxScore(i, j):
    if i==j: return nums[i]
    left = nums[i] - maxScore(i+1, j)
    right = nums[j] - maxScore(i, j-1)
    return max(left, right)
return maxScore(0, len(nums)-1) >= 0

切棍子的最小成本

戳气球

奇怪的打印机

移除盒子