# 区间DP ## 枚举区间 在线性DP的基础上，区间DP能找到**区间的最值**。简单的区间DP复杂度为**O(n²)**，如果把$$f(i, j)$$定义为`[i, j]`区间的答案，那么它取决于与它临近解的值： $$f\[i, j] = g (f\[i+1, j], f\[i, j-1], f\[i+1, j-1])$$ 比如最长回文子串的核心代码： ```python for l in range(1, N+1): for i in range(N-l+1): j = i+l-1 if l<=2: f[i][j] = (s[i]==s[j]) else: f[i][j] = (f[i+1][j-1] and s[i] == s[j]) if f[i][j] and l>len(res): res = s[i:j+1] return res ``` ## 枚举区间和中点 更复杂的情况，如果**问题的大小随着不同阶段变化而变化**，那很可能用区间DP来枚举这个动态过程。这个时候时间复杂度为**O(n³)**，那么状态转移方程一般可以写成： $$f(i, j) = \max\_k \[f(j, k) + f(k+1, j) + \text{cost}]$$ 注意上述两种情况中，都是只有区间的长度在不断变大。所以我们一开始都先枚举区间长度 $$l$$ 来符合DP的自下而上的要求。 **参考模版** ```python for l in range(N): for i in range(N-l): # 枚举长度为l的[i, j)区间 j = i+l for k in range(i+1, j): # 枚举中点i+1, i+2, ..., j-1 # do something. ``` 用记忆化搜索会更好写些： ```python @cache def dfs(i, j): if i==j: # do something res = 0 for k in range(i+1, j): res = max(res, dfs(i, k)+dfs(k, j)+cost) return res ``` ## 例题 枚举区间： * [**预测赢家**](https://leetcode-cn.com/problems/predict-the-winner/) 枚举中点： * [**切棍子的最小成本**](https://leetcode-cn.com/problems/minimum-cost-to-cut-a-stick/) * [**戳气球**](https://leetcode-cn.com/problems/burst-balloons/submissions/) * [**奇怪的打印机**](https://leetcode-cn.com/problems/strange-printer/) * [**移除盒子**](https://leetcode-cn.com/problems/remove-boxes/)**：**$$f\[i, j, k]$$ = 移除区间 $$n\_i, n\_{i+1}..., n\_j$$ 盒子加上该区间右边有 $$p$$ 个与 $$n\_j$$ 相同的盒子的最大积分 {% tabs %} {% tab title="预测赢家" %} ```python 给定一个表示分数的非负整数数组。 玩家 1 从数组任意一端拿取一个分数， 随后玩家 2 继续从剩余数组任意一端拿取分数，然后玩家 1 拿，…… 。 每次一个玩家只能拿取一个分数，分数被拿取之后不再可取。 直到没有剩余分数可取时游戏结束。最终获得分数总和最多的玩家获胜。 给定一个表示分数的数组，预测玩家1是否会成为赢家。 你可以假设每个玩家的玩法都会使他的分数最大化。 输入：[1, 5, 2] 输出：False 解释：一开始，玩家1可以从1和2中进行选择。 如果他选择 2（或者 1 ），那么玩家 2 可以从 1（或者 2 ）和 5 中进行选择。 如果玩家 2 选择了 5 ，那么玩家 1 则只剩下 1（或者 2 ）可选。 所以，玩家 1 的最终分数为 1 + 2 = 3，而玩家 2 为 5 。 因此，玩家 1 永远不会成为赢家，返回 False 。 ``` ```python N = len(nums) f = [[0]*(N+1) for _ in range(N+1)] for l in range(N): for i in range(N-l): j = i+l f[i][j] = max(nums[i]-f[i+1][j], nums[j]-f[i][j-1]) return f[0][N-1] >= 0 # Memoization @cache def maxScore(i, j): if i==j: return nums[i] left = nums[i] - maxScore(i+1, j) right = nums[j] - maxScore(i, j-1) return max(left, right) return maxScore(0, len(nums)-1) >= 0 ``` {% endtab %} {% tab title="切棍子的最小成本" %} ```python 有一根长度为 n 个单位的木棍，棍上从 0 到 n 标记了若干位置。 给你一个整数数组 cuts ，其中 cuts[i] 表示你需要将棍子切开的位置。 你可以按顺序完成切割，也可以根据需要更改切割的顺序。 每次切割的成本都是当前要切割的棍子的长度，切棍子的总成本是历次切割成本的总和。 对棍子进行切割将会把一根木棍分成两根较小的木棍（这两根木棍的长度和就是切割前木棍的长度）。 返回切棍子的 最小总成本 。 输入：n = 7, cuts = [1,3,4,5] 输出：16 解释：按 [1, 3, 4, 5] 的顺序切割的情况如下所示： 第一次切割长度为 7 的棍子，成本为 7 。 第二次切割长度为 6 的棍子（即第一次切割得到的第二根棍子）， 第三次切割为长度 4 的棍子，最后切割长度为 3 的棍子。总成本为 7 + 6 + 4 + 3 = 20 。 而将切割顺序重新排列为 [3, 5, 1, 4] 后， 总成本 = 16（如示例图中 7 + 4 + 3 + 2 = 16）。 ``` ```python cuts = [0] + sorted(cuts) + [n] N = len(cuts) f = [[float('inf')]*N for _ in range(N)] for l in range(1, N): for i in range(N-l): j = i+l if l==1: f[i][j] = 0 continue for k in range(i+1, j): f[i][j] = min(f[i][j], f[i][k]+f[k][j]+cuts[j]-cuts[i]) return f[0][-1] # Memoization cuts = [0] + sorted(cuts) + [n] N = len(cuts) @cache def minCost(i, j): if j-i==1: return 0 res = float('inf') for k in range(i+1, j): left = minCost(i, k) right = minCost(k, j) res = min(res, left+right+cuts[j]-cuts[i]) return res return minCost(0, N-1) ``` {% endtab %} {% tab title="戳气球" %} ```python 有 n 个气球，编号为0 到 n - 1，每个气球上都标有一个数字，这些数字存在数组 nums 中。 现在要求你戳破所有的气球。戳破第 i 个气球， 你可以获得 nums[i - 1] * nums[i] * nums[i + 1] 枚硬币。  这里的 i - 1 和 i + 1 代表和 i 相邻的两个气球的序号。 如果 i - 1或 i + 1 超出了数组的边界，那么就当它是一个数字为 1 的气球。 求所能获得硬币的最大数量。 输入：nums = [3,1,5,8] 输出：167 解释： nums = [3,1,5,8] --> [3,5,8] --> [3,8] --> [8] --> [] coins = 3*1*5 + 3*5*8 + 1*3*8 + 1*8*1 = 167 ``` ```python nums = [1] + nums + [1] n = len(nums) f = [[0]*n for _ in range(n)] for l in range(n): for i in range(n-l): j = i+l for k in range(i+1, j): f[i][j] = max(f[i][j], f[i][k]+f[k][j]+nums[i]*nums[k]*nums[j]) return f[0][-1] # Memoization nums = [1] + nums + [1] @cache def maxScore(i, j): if i>=j-1: return 0 res = 0 for k in range(i+1, j): left = maxScore(i, k) right = maxScore(k, j) res = max(res, left+right+nums[i]*nums[j]*nums[k]) return res return maxScore(0, len(nums)-1) ``` {% endtab %} {% tab title="奇怪的打印机" %} ```python 有台奇怪的打印机有以下两个特殊要求： 打印机每次只能打印由 同一个字符 组成的序列。 每次可以在任意起始和结束位置打印新字符，并且会覆盖掉原来已有的字符。 给你一个字符串 s ，你的任务是计算这个打印机打印它需要的最少打印次数。 输入：s = "aaabbb" 输出：2 解释：首先打印 "aaa" 然后打印 "bbb"。 ``` ```python N = len(s) f = [[0]*N for _ in range(N+1)] for l in range(N): for i in range(N-l): j = i+l f[i][j] = f[i+1][j] + 1 for k in range(i+1, j+1): if s[i]==s[k]: f[i][j] = min(f[i][j], f[i][k-1]+f[k+1][j]) return f[0][-1] # Memoization @cache def minCost(i, j): if i>j: return 0 res = minCost(i+1, j) + 1 for k in range(i+1, j+1): left = minCost(i, k-1) right = minCost(k+1, j) if s[k]==s[i]: res = min(res, left+right) return res return minCost(0, len(s)-1) ``` {% endtab %} {% tab title="移除盒子" %} ```python 给出一些不同颜色的盒子，盒子的颜色由数字表示，即不同的数字表示不同的颜色。 你将经过若干轮操作去去掉盒子，直到所有的盒子都去掉为止。 每一轮你可以移除具有相同颜色的连续 k 个盒子（k >= 1）， 这样一轮之后你将得到 k * k 个积分。 当你将所有盒子都去掉之后，求你能获得的最大积分和。 输入：boxes = [1,3,2,2,2,3,4,3,1] 输出：23 解释： [1, 3, 2, 2, 2, 3, 4, 3, 1] ----> [1, 3, 3, 4, 3, 1] (3*3=9 分) ----> [1, 3, 3, 3, 1] (1*1=1 分) ----> [1, 1] (3*3=9 分) ----> [] (2*2=4 分) ``` ```python N = len(boxes) f = [[[0]*(N+1) for _ in range(N+1)] for _ in range(N+1)] for l in range(N): for i in range(N-l): j = i+l for p in range(N-j): if ij: return 0 while i